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二吉f号，放A不正确：因为a-6,b1-5反，=√a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=√12+12+22+2×(0-1-1)=√2.所以5|a|=5|b|,故B正确；因为a·(5a十6b)=5a2+6a·b=5×(4+1+1)+6×(-6-4+5)=0,故C线段AC1的长为√2，(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为0，正确；又a·b=-5,cosa,b)=-56X5√26,故D则os9=Icos(AC,A,i1=1AC·AdIACIA DI不正确.故选BC.AC:=a+b+c,A:D=b-c,..AC:.AD=(a+8解析：以C为原点建立如图所示b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12的空间直角坐标系，则A(2,0,0),A22=-2,|A1D1=√(b-c)z=√Tb2-2b·c+1c下=C1(0,0,22).点C1在侧面ABB;A1内√1-2X(-1)+22=√7，的擺为点c(号9a,所以AC-.'cos 0=AC·AD=-21=4|AC1IIA1D|√2X√771-20.2.G-(-号22设故异面直线AC,与A,D所成角的余弦值为√7直线AC,与平面ABB1A1所成的角为0，即为AC1与(3)证明：AA=c,BD=b-a,AA·BD=c·AC的夹角，则cos0=AC·AC=1+0+8_5又(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,IACAC,23x32∴，AA1⊥BD,即AA1⊥BD9e0,哥引所以9=晋【方法导航】a·b【方法导航】设l为平面a的斜线，l∩a=A,a为l的方向向求夹角设向量a,b的夹角为0，则cos0=a16,进而量，n为平面a的法向量，0为l与a所成的角，则sin0=可求两异面直线所成的角1osa,m=滑支线与半西%成角的范图为0，引，、π求长度利用公式|a2=a·a,可将线段长度的计算问(距离)题转化为向量数量积的计算问题而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值解决利用a⊥b台a·b=0(a≠0，b≠0)，可将垂直问9.√5解析：点A(-1,2,1)在a内，垂直问题题转化为向量数量积的计算问题P(1,2,2),.AP=(2,0,1),P到平面a的距离d=|PQ|个n12.Aa解扬：由题意可知是+日十：=1，所以：=日放An_A2·nl选A【方法导航】在空间中P,A,B,C四，点共面的充要条件：=55OP=xOA+yOB+0C(其中x十y十z=1),0为空间任意一点.【方法导航】已知平面a的法向量为n,A是平面a内的定13.AB解析：对于A,两条不重合直线11，l2的方向向量点，P是平面α外一点.过点P作平面a的垂线l,交平面分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则b=-a,所a于点Q,则n是直线l的方向向量，且点P到平面&的距离就是AP在直线1上的投影向量PQ的长度.以l1∥L2,选项A正确；对于B,两个不同的平面α，B的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则u·v=10.垂直解析：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线2×(一3)十2×4一1×2=0，所以a&⊥B,选项B正确；对分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系（图略）.设DA=于C,直线1的方向向量a=(1,一1,2)，平面a的法向2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),所以量是u=(6,4,-1),则a·u=1×6-1×4+2×AM=(-2,0,1),ON=(1,0,2),AM.ON=-2+0+(一1)=0，所以1∥a或lCa,选项C错误；对于D,直线l2=0,所以AM⊥ON.11.解：(1)设AB=a,AD=b,AA1=c,则|a=|b|=1,的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量是u=(0,一5，|c=2,a·b=0,c·a=c·b=2X1Xcos120°=-1.0),则4=-号0，所以11a,选项D错误放选AB.ACj=AC+CCj=AB+AD+AA=a+b+c,14.证明：因为AB=AC,E为BC的中点，所以AE⊥BC.∴.ACi1=a+b+c=√(a+b+c)因为AA1⊥平面ABC,AA1BB1,八教学笔记数学·参考答案/64